تذکر1: حلقه را حلقه با واحد نیزمی نامندو را واحد حلقه گویند.
تذکر2: برای نمایش نگاشت همانی ازعلامت نیز استفاده می شود.
(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)
قضیه2.1: فرض کنید 𝑅 یک حلقه باشد.دراین صورت:
< >به ازای هر , به ازای هر , به ازای هر , به ازای هر , به ازای هر , ( )( )
تعریف3.1 : فرض کنیم 𝑆,𝑅 حلقه باشند تابع یک همریختی حلقه ها است .
مشروط بر اینکه به ا زای هر R a,b
(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)
تبصره: رده تمام حلقه ها همراه با تما م همریختهای حلقه ها یک کا تگوری (ملموس)
تشکیل می دهد.
(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)
تذکر3 : به جای "همریختی حلقه ها" می نویسیم "همریختی" یک همریختی حلقه ها در حالت خاص ,همریختی از گروههای جمعی زمینه می باشد.
تذکر4 : یک تکریختی [بروریختی,یکریختی] از حلقه ها یک همریختی ازحلقه ها است که نگاشتی انژکتیو [سورژکتیو,بیژکتیو] باشد یک تکریختی ازحلقه ها را گاهی یک نشاننده Rدر S می نا مند.
تذکر5 : هر یکر یختی یک خودریختی R نام دارد .
تذکر6 : هسته همریختی از حلقه ها هسته آن بعنوان نگاشت گروههاجمعی
است یعنی به همین نحو ؛ نقش ؛
که به صورت =Im
نمایش داده می شود.
(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)
تذکر7 : اگرR , S دارای واحدهای و باشند لازم نیست یک همریختی از حلقه ها رابه بنگارد.
تعریف4.1: فرض کنیم R یک حلقه باشد ,هرگاه کوچکترین عدد صحیح مثبت nکه به ازای هر , =na موجودباشد ,آنگاه گوییم R دارای مشخص n است,اگر این n موجود نباشد گوییم R دارای مشخص صفر است (نماد : n R char )
قضیه5.1: فرض کنیم R حلقه ای یکدار با واحد ,مشخصه باشد .
1: هرگاه نگاشت با داده شده باشد آنگاه یک همریختی حلقه ها با هسته است.
2 : n کوچکترین عدد صحیح مثبتی است که ,
3: هرگاه R مقسوم علیه صفر نداشته باشد (بخصوص هرگاه R یک دامنه صحیح باشد )
آنگاه n اول است .
(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)
قضیه 6.1 : هر حلقه R رامی توان در حلقه یکدار S نشانید حلقه S ( که منحصر به فرد نیست )
را می توان با مشخصه صفر یا با مشخصه حلقه R اختیار کرد .