پایان نامه رادیکال زیر مدول ها

پایان نامه کارشناسی ارشد

گرایش جبر

چکیده:

در این پایان نامه همه حلقه ها یکدار و جابجائی و همه مدول ها یکانی هستند این پایان نامه شامل یک مقدمه و هفت فصل است. فصل اول شامل هدف، پیشینه تحقیق و روش کار می باشد. فصل دوم شامل تعاریف و قضایای مقدماتی است. فصل سوم شامل خواص اساسی زیر مدول های اول است. فصل چهارم شامل خواص –M رادیکالها است هدف عمده فصل پنجم برهان قضیه زیر می باشد.

قضیه 1: فرض کنیم R یک حلقه باشد. آن گاه R در فرمول رادیکال صدق می کند در صورتی که یکی از شرایط زیر برقرار باشد.

الف) برای هر -R مدول آزاد F,F در فرمول رادیکال صدق کند.

ب) برای هر مدول A، .

ج) R تصویر همومرفیسم S است که S در فرمول رادیکال صدق می کند.

د) برای هر R- مدول  A faithful، A در فرمول رادیکال صدق کند.

در فصل ششم R یک دامنه ایده آل اصلی است و A مدول آزاد Rn در نظر گرفته شده است. و هدف عمده فصل ششم و هفتم برهان قضیه زیر می باشد.

قضیه 2: فرض کنیم R یک دامنه ایده آل اصلی و P, A=Rn زیر مدولی از A باشد. آن گاه عبارات زیر هم ارزند.

الف: P جمعوند مستقیم A است.

ب: P بسته است.

ج: اگر  آن گاه P اول است و dim P

 

مقدمه:

در سال 1991  R.L.McCasland و M.E.Moore مقاله ای تحت عنوان رادیکال های زیر مدول ها نوشتند این پایان نامه شرحی است بر مقاله فوق.

 

فصل اول این پایان نامه شامل هدف و پیشینه تحقیق می باشد. فصل دوم شامل تعاریف و قضایای مقدماتی است. فصل سوم خواص زیر مدول های اول می باشد. فصل چهارم شامل خواص -M رادیکال ها می باشد.

فصل پنجم با تعریف مفاهیم پوش یک زیر مدول یا E(B) و M-radB شروع شده است. و ارتباط بین زیر مدول های تولید شده توسط آنها با رادیکال زیر مدول ها بررسی شده و همچنین شرایط هم ارزی که یک حلقه می تواند در فرمول رادیکال صدق کند بررسی شده است.

در فصل ششم حلقه R یک حلقه PID و مدول A نیز مدول آزاد Rn در نظر گرفته شده است و نشان می دهیم اگر B زیر مدول A باشد آن گاه  اگر و تنها اگر dim B=dim A و در فصل هفتم با تعریف مدول های بسته نشان داده می شود که اگر R دامنه ایده آل اصلی و P , A=Rn زیر مدول A باشد آن گاه شرایط زیر هم ارزند.

1) P جمعوند مستقیم A است.            2) P بسته است.                  3) اگر  باشد آن گاه P اول است و dim P

 

فصل اول:

هدف، پیشینه تحقیق و روش کار

 

هدف:

بررسی خواص اساسی از زیر مدول های اول و خواص -M رادیکال ها و هدف نهایی بررسی مفاهیم پوش یک زیر مدول و برهان قضیه 1 و 2 گفته شده در مقدمه و چکیده پایان نامه می باشد.

 

پیشینه تحقیق و روش کار:

برای گردآوری این پایان نامه از ژورنالهای مختلف ریاضی در گرایش جبر موجود در کتابخانه های معتبر مانند IPM استفاده شده است و هنوز در هیچ کتاب درسی در سطح کارشناسی ارشد و دکترا مفاهیم فوق نوشته و بررسی نشده است.

 

 فصل دوم:

تعاریف و قضایای مقدماتی

 

تعریف(1-2): مجموعه R همراه با دو عمل دوتائی + و . را یک حلقه گوئیم اگر،

الف) (R , +) یک گروه آبلی باشد.

ب) به ازاء R  a,b,c ، a(b c) = (a b)c

ج) به ازاء هر R  a,b,c

(قانون توزیع پذیری چپ) a(b+c) = ab+ac

(قانون توزیع پذیری راست) (b+c) a= ba+ca

تعریف(2-2): حلقه R را تعویض پذیر(یا جابجائی) گوئیم هر گاه:

تعریف(3-2): اگر حلقه R نسبت به عمل ضرب دارای عضو همانی باشد آنگاه این عضو را با 1R، یا به طور ساده با 1، نمایش می دهیم و آن را یکه R می نامیم

تذکر: در سراسر پایان نامه R حلقه جابجایی و یکدار فرض می شود.

تذکر: اگر R حلقه ای یکدار بوده و به ازاء هر  داشته باشیم ab=ba=1 آنگاه a را یک واحد(یا عضو وارون پذیری) می نامیم.

تعریف(4-2): گوئیم حلقه R بدون مقسوم علیه صفر است هر گاه:

             یا                

تعریف(5-2): هر حلقه جابجائی، یکدار و بدون مقسوم علیه صفر را دامنه صحیح می نامیم.

تعریف(6-2): زیر مجموعه S از حلقه R یک زیر حلقه R است اگر:

تعریف(7-2): زیر حلقه I از R را ایده آل R نامیم هر گاه:

تعریف(8-2): ایده آل I از حلقه R را، ایده آل سره نامند هر گاه:  و می نویسیم :

تعریف(9-2): ایده آل P از حلقه R را ایده آل اول نامند هر گاه:

           یا      

تعریف(10-2): اگر I یک ایده آل از حلقه R باشد آنگاه:

 را حلقه خارج قسمتی R بر I نامند.

تذکر: اگر R جابجائی و یکدار باشد آنگاه  نیز جابجائی و یکدار است.

لم(11-2): فرض کنید P ایده آل حلقه R باشد آنگاه:

P ایده آل اول است اگر و تنها اگر  دامنه صحیح باشد.

تعریف(12-2): دامنه صحیح D را دامنه ددکنید نامند هر گاه هر ایده آل آن به صورت حاصل ضرب، ایده آلهای اول باشد.

تعریف(13-2): ایده آل سره M از حلقه R را ایده آل ماکزیمال نامند هر گاه M داخل هیچ ایده آل سره از R قرار نگیرد.

تعریف(14-2): فرض کنیم R حلقه جابجائی و یکدار باشد. در این صورت R را یک میدان نامیم هر گاه هر عضو ناصفر آن دارای وارون ضربی باشد.

لم(15-2): فرض کنیم R حلقه و M ایده آلی از حلقه R باشد آنگاه:

M یک ایده آل ماکزیمال R است اگر و تنها اگر  میدان باشد.

 

 

تذکر: علامت X مولدهای ایده آل(X) نامیده می شود.

اگر  در این صورت گویند(X) یک ایده آل متناهیا تولید شده است.

تذکر: در حالت خاص وقتی که X={a} باشد داریم:

تعریف(17-2): حلقه R را یک حوزه ایده آل اصلی نامیم هر گاه R حوزه صحیح باشد و هر ایده آل آن توسط یک عضو تولید شود.

تعریف(18-2): در حلقه R، گوئیم عنصر b,a را می شمارد و می نویسیم a | b هر گاه:

تعریف(19-2): عنصر p را در حلقه R اول گوییم هر گاه:

  یا 

تعریف(20-2): حلقه R را حوزه تجزیه یکتا گویند هر گاه R حوزه صحیح باشد و هر عضو آن را بتوان به صورت حاصلضرب متناهی و منحصر بفرد از عناصر اول نوشت.

تعریف(21-2): ایده آل P از حلقه R را یک ایده آل اولیه نامیم هر گاه اولا  و ثانیا

تعریف(22-2): فرض کنیم I ایده آل حلقه R باشد. رادیکال ایده آل I را به صورت  نمایش می دهند و عبارت است از:

لم(23-2): اگر R یک حلقه و I ایده آلی از حلقه R باشد در اینصورت  که در آن P ایده آل اول حلقه R  و شامل I است.

لم(24-2): اگر P یک ایده آل اولیه باشد آنگاه رادیکال P یک ایده آل اول است.

تعریف(25-2): فرض کنیم Q یک ایده آل اولیه باشد و داشته باشیم ، آنگاه گوئیم Q یک ایده آل -P اولیه است.

مثال(26-2): در حلقه Z از اعداد صحیح به ازاء هر عدد اول p ایده آل تولید شده توسط p که آن را به صورت(p) نمایش می دهیم یک ایده آل اول است.

مثال(27-2): ایده آلهای (p4) , (p3) , (p2) و ... و ایده آلهای اولیه هستند زیرا:

پس (pn) یک -(p) اولیه است.

تعریف(28-2): عنصر a در حلقه R را خودتوان گوئیم هر گاه a2=a.

تعریف(29-2): ایده آل I از حلقه R را ایده آل رادیکال نامند هر گاه .

تعریف(30-2): فرض کنیم R' . R دو حلقه باشند نگاشت  را یک همومورفیسم حلقه نامند هر گاه:

 

 

تعریف(31-2): اگر f اپی مرفیسم و منومرفیسم باشد آنگاه f یک ایزومرفیسم نامیده می شود.

تعریف(32-2): فرض کنیم R یک حلقه یکدار و M گروهی آبلی باشد. اگر تابعی مانند  

 موجود باشد به قسمی که در شرایط زیر صدق کند گوئیم M یک -R مدول چپ است.

تذکر: -R مدول راست مشابها تعریف شود.

تعریف(33-2): فرض کنیم M یک -R مدول، و N زیر مجموعه غیر تهی از M باشد در اینصورت گوئیم N زیر مدول M است و می نویسیم  هر گاه:

         (1 فرمول

         (2 فرمول

تعریف(34-2): منظور از زیر مدول تولید شده توسط m از -R مدول M، مجموعه ای به صورت زیر است:

تعریف(35-2): فرض کنیم P یک زیر مدول از -R مدول M باشد. گوئیم P زیر مدول سره M است هر گاه  باشد.

تعریف(36-2): فرض کنیم R یک حلقه و F یک -R مدول باشد. در اینصورت گوئیم F یک -R مدول آزاد است هر گاه خانواده  از عناصر F موجود باشد به قسمی که هر عضو F را بتوان به صورت منحصر به فرد از ترکیبات خطی این عناصر نوشت. بعبارت دیگر:

تعریف(37-2): فرض کنیم M و N دو R مدول باشند. در اینصورت نگاشت f از M به توی N را یک همریختی R- مدولی بین M و N نامید هر گاه شرایط زیر برقرار باشد:

تعریف(38-2): اگر  یک همریختی -R مدولهای M و N باشد منظور از هسته f و تصویر f مجموعه هایی به شکل زیر هستند:

لم(39-2): اگر  یک همزیختی -R مدولی باشد در اینصورت Kerf , Imf به ترتیب زیر مدولهای N و M هستند.

قضیه(40-2): فرض کنیم  یک همریختی -R مدولی باشد و فرض کنیم A زیر مدول M و B زیر مدول N باشد. در اینصورت f(A) و f-1(B) به ترتیب زیر مدولهای N و M هستند و بالاخره:

قضیه(41-2): اگر  یک اپی مرفیسم باشد در اینصورت تناظری یک به یک بین زیر مدولهای A از M که شامل Kerf هستند و زیر مدولهای B از N برقرار است و این تناظر، حافظ جزئیت است یعنی:

تعریف(42-2): فرض کنیم A یک -R مدول و P زیر مدول آن باشد. گوییم P زیر مدول اول A است هر گاه  باشد و برای  و  از  بتوانیم نتیجه بگیریم که .

تعریف(43-2): زیر مدول N از -R مدول M را اولیه نامند هر گاه:

1) N زیر مدول سره M باشد.

2)     یا

تعریف(44-2): فرض کنیم R یک حلقه و B یک -R مدول باشد. در اینصورت پوچساز B مجموعه ای به صورت زیر می باشد:

تعریف(45-2): -R مدول M را تابدار گویند هر گاه برای هر عضو مخالف صفر M مثل .

تعریف(46-2): -R مدول M را بدون تاب گوئیم هر گاه برای هر  و برای هر ، اگر داشته باشیم rm=0 بتوان نتیجه گرفت که r=0 یا m=0 .

تعریف(47-2): -R مدول M را متناهیا تولید شده گویند هر گاه اعضاء  در M موجود باشد به طوریکه هر عضو M را بتوان به صورت ترکیب خطی از این عناصر با ضرایب در R نوشت.

تعریف(48-2): فرض کنیم R حلقه و M یک -R مدول باشد. در اینصورت گوئیم M در شرط زنجیری صعودی(A.C.C) برای زیر مدولهایش صدق می کند هر گاه هر زنجیر صعودی از زیر مدولهایش ایستا باشد. یعنی برای هر زنجیر صعودی به صورت زیر:

ی موجود باشد بطوریکه برای هر k که  داشته باشیم Mn=Mk .

تعریف(49-2): حلقه R را یک حلقه نوتری می گوئیم هر گاه هر زنجیر صعودی از ایده آل هایش ایستا باشد یعنی اگر:

یک زنجیر صعودی دلخواه از ایده آلهای R باشد آنگاه  موجود باشد، به طوریکه برای هر  داشته باشیم:                                                                                     

تعریف(50-2): حلقه R را آرتینی می گوئیم هر گاه هر زنجیر نزولی از ایده آل هایش ایستا باشد یعنی اگر

یک زنجیر نزولی دلخواه از ایده آلهای R باشد آنگاه  موجود باشد، به طوریکه برای هر  داشته باشیم:

Ak=An